夢晨 發(fā)自 凹非寺
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
n階矩陣乘法最優(yōu)解的時間復雜度再次被突破，達到了O(n^2.3728596)。
按定義直接算的話，時間復雜度是O(n )。
光這么說可能不太直觀，從圖上可以看出，n足夠大時優(yōu)化后的算法就開始表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢。
矩陣乘法在深度學習中有著廣泛的應用，像卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(CNN)中最耗時間的卷積計算，就經(jīng)常被映射成矩陣乘法。
△圖源：DOI 10.3390/electronics8010065
雖然在具體實現(xiàn)上還有很多障礙，但矩陣相乘底層算法的優(yōu)化，至少在理論上為深度學習節(jié)省時間提供了可能性。
而科學家們努力的目標，是使n階矩陣乘法的時間復雜度盡可能接近理論上的最快速度O(n )。
本次研究共同作者是一對師徒。
△左：Alman 右：Vassilevska Williams
Josh Alman目前是哈佛大學的博士后研究員，主要研究方向是算法設計和復雜度理論。
Virginia Vassilevska Williams是他在MIT讀博士期間的導師，研究方向是組合數(shù)學和圖論在計算領域的應用。
Strassen：用加法替代乘法
矩陣乘法的時間復雜度直到1969年才第一次被Volker Strassen降至O(n )以下。
看過《算法導論》的同學應該很熟悉Strassen算法。
以2階矩陣相乘為例，總共需要進行2 =8次乘法，而2 的高階矩陣相乘可以用分塊法不斷迭代細分解成若干個2階子矩陣相乘。
Strassen巧妙地通過構(gòu)造7個中間變量，用增加14次加法為代價省去了一次乘法。
對于
定義
則有
像這樣，在M -M 的計算中只有7次乘法操作。
由于矩陣乘法計算中乘法的復雜度是O(n )，而加法的復雜度只有O(n )，n越大時此方法的收益就越大。
且分塊后每個子矩陣相乘都可以省去一次乘法操作，最終把時間復雜度降低到O(n^2.807)。
這么繞的算法到底怎么想出來的？可惜Strassen在論文中并沒有說明這一點。
Strassen算法在實際應用時受到很大限制，如運行時會創(chuàng)建大量的臨時變量，在n不夠大時反倒更耗費時間。
還有只適用于稠密矩陣，針對稀疏矩陣有更快的專門算法。
但最重要的是，Strassen的辦法讓學界意識到，原來矩陣乘法問題還有優(yōu)化空間??！
激光法：用張量替代矩陣
20世紀70年代末期,科學家們找到了解決問題的新思路，將矩陣計算轉(zhuǎn)換為張量計算。
1981年，Schonhage將此方法優(yōu)化到O(n^2.522)后，Strassen把這個方法命名為“激光法(Laser Method)”，因為和正交偏振激光有相似之處。
在后來的幾十年中，矩陣乘法的每次優(yōu)化都來自激光法的優(yōu)化，即如何更有效地把矩陣問題轉(zhuǎn)換成張量問題。
Alman和Williams的優(yōu)化算法只比14年LeGall的O(n^2.3728639)減少了4e^(-6)。
從歷次優(yōu)化的幅度來看，似乎已逼近激光法的極限。
能算得更快了嗎？
激光法很少在實際中應用，因為它只在n足夠大，大到現(xiàn)代計算機硬件幾乎無法處理的時候才能提供優(yōu)勢。
這樣的算法被稱作“銀河算法(Galatic Algorithm)”。
在業(yè)界使用最多的還是通過分塊法和并行處理控制矩陣的規(guī)模。當n不大時，再通過循環(huán)展開，內(nèi)存布局優(yōu)化等辦法針對直覺算法的優(yōu)化。
還有一點，現(xiàn)實中由于浮點數(shù)精度的限制，Strassen法和激光法在計算大規(guī)模矩陣時都會產(chǎn)生不小的誤差。
△圖源：DOI 10.1109/ICPADS.2011.130
矩陣乘法的加速，看來還沒那么容易。
